Maths II: 2020

Espaces Vectoriels - Applications Linéaires

Espaces vectoriels

Cours : EV_1

Cours : EV_2

$E=\mathbb{R}^n \quad \mbox{est un espace vectoriel r\'eel}$

Sous-espaces vectoriels

Définition :

$\mbox{Une partie non vide } F \ \mbox{de} \ E \ \mbox{est un sous-espace vectoriel (s.e.v),si} \\ F \mbox{est stable par combinaison lin\'eaire.}\ \mbox{c'est-\`a-dire} \ \forall \ \lambda \ \mbox{et}\ \mu \in \mathbb{R}\ : \ \lambda x+\mu y \in F$

Théorème :

$F \ \mbox{est un s.e.v de } \E \ \mbox{si et seulement si } \\ \left\{\begin{matrix} 0_E &\in &F &\\ \lambda u +v&\in& F &\forall \ u,v \in F \ \mbox{et} \ \forall \ \lambda \in \mathbb{R} \end{matrix}\right.$

Exemples :

$1/. \quad F_1= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2)\ ; \ x+y=0\} \ \mbox{est un s.e.v de } \ \mathbb{R}^2.\\ 2/. \quad F_2= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2)\ ; \ x\x\times y=0\} \ \mbox{n'est pas un s.e.v de } \ \mathbb{R}^2.\\ \mbox{en effet : }\ X(0,1)\in F \ \mbox{et} \ Y(1,0) \in \F \mbox{mais} \ X+Y \not\in F.$

Exercice : Exercice 1 Série 4 [Corrigé]

Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.

$\\1/. \quad E_1= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2\ ; x=0\} \qquad 2/. E_2= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ; \ x+2y-z=0\} \\ 3/. \quad E_3= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\ ; x=1\} \qquad 4/. \quad E_3= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\ ; x=y\} \\ 5/. \quad E_5= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\ ; x^2=y^2\} \quad 6/. \quad E_3= \{A \in M_2(\mathbb{R})\ ; \bigl(\begin{smallmatrix} a &2c \\ c & -b \end{smallmatrix}\bigr)\}$

[Corrigé]

Sous-espaces engendré - famille génératrice

Combinaison linéaire

$\mbox{Soit}\ v_1,v_2;\cdots,v_n \ n \ \mbox{vecteurs d'un e.v } \ E. \\ \mbox{Tout vecteur de la forme : }\\ u=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i v_i =\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\cdots+\lambda_n v_n\\ \mbox{est une combinaison lin\'eaire des vecteurs} \ v_1,v_2,\cdots,v_n.\\ \lambda_i, \ i=1,2,\cdots,n \ \mbox{sont les coefficients de la c.l}$

Sous-espace engendré

$\mbox{Soit}\ (v_1,v_2;\cdots,v_n )\ \mbox{un ensemble fini de vecteurs d'un e.v } \ E \ \mbox{alors :} \\ - \ \mbox{L'ensemble des combinaisons lin\'eaires des vecteurs}\ (v_1,v_2;\cdots,v_n ) \\ \mbox{est un s.e.v de} \ E. \\ - \ \mbox{C'est le plus petit s.e.v de} \ E \ \mbox{contenant les vecteurs } \ (v_1,v_2;\cdots,v_n ).$

Ce sous ensemble est appelé sous-espace engendré par :

$(v_1,v_2;\cdots,v_n )$

$\mbox{qu'on note : } \ Vect(v_1,v_2,\cdots,v_n)=<(v_1,v_2,\cdots,v_n)>\\$

famille génératrice

$u\in Vect(v_1,v_2,\cdots,v_n) \Longleftrightarrow \mbox{il} \ \exists \ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n \in \mathbb{R} \ \mbox{tels que} \\ u= \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\cdots+\lambda_n v_n \\ (v_1,v_2,\cdots,v_n) \ \mbox{est une famille g\'en\'eratrice de} \ E=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$

Exemple :

$F_1=\{(a,a,a) ;\ a \in \math{R}\}=\{a\underbrace{(1,1,1)}_v\}=Vect(v)$

Une famille génératrice de F1 est (v)

Exercice :

$\mbox{Montrer que} (u,v,w) \mbox{est une famille g\'en\'eratrice de} \ \mathbb{R}^3. \\ \mbox{avec} \ u\begin{pmatrix} 1\\1 \\3 \end{pmatrix} \ , \ v\begin{pmatrix} 1\\0 \\ 1 \end{pmatrix}\ \mbox{et} \ w\begin{pmatrix} 2\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$

[Correction]

Famille libre - famille liée

$- \ \mbox{On dit qu'une famille finie} \ (x_1,x_2,\cdots,x_p)\ \mbox{de} \ p\ \mbox{vecteurs de }\ E \\ \mbox{est libre si :} \\ \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_p x_p=0 \Longrightarrow \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_p=0 \\ \Longrightarrow \ \mbox{Les vecteurs} \ x_i, i=1,2,\cdots,p \ \mbox{sont \textbf{lin\'eairement ind\'ependants}} \par - \mbox{On dit qu'une famille finie} \ (x_1,x_2,\cdots,x_p)\ \mbox{de} \ p\ \mbox{vecteurs de }\ E \\ \mbox{est liée s'il existe des r\'eels :} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p\ \mbox{\textbf{non tous nuls} tels que}\\ \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_p x_p=0 \\ \Longrightarrow \ \mbox{Les vecteurs} \ x_i, i=1,2,\cdots,p \ \mbox{sont \textbf{lin\'eairement d\'ependants}}$

Exemples :

$1/. \ \mbox{Les vecteurs}\ (1,2)\ \mbox{et} \ (-1,3) \ \mbox{sont libres}\\ \alpha_1\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \ \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha_1-\alpha_2=0\\2\alpha_1+3\alpha_2=0 \end{matrix}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha_1=\alpha_2\\2\alpha_1+3\alpha_2=0 \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha_1=0\\ \alpha_2=0 \end{matrix}\right. \\$

$\par 2/. \ \mbox{Les vecteurs}\ (2,1,0)\ , \ (-1,1,1) \ \mbox{et} \ (1,2,1) \ \mbox{sont li\'ees}\\ \alpha_1\begin{pmatrix} 2\\1 \\0 \end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}+\alpha_3\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \end{pmatrix} \ \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3=0\\ \alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3=0\\ \alpha_2+\alpha_3=0 \end{matrix}\right. \\ \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha_2=-\alpha_3\\\alpha_1=-\alpha_3\\ \alpha_3 \in \mathbb{R} \end{matrix}\right.$

Théorème :Une famille de vecteurs est libre si et seulement si le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs soit non nul.

$\mbox{det}(v_1,v_2,\cdots,v_n) \neq 0 \ \Longleftrightarrow \ (v_1,v_2,\cdots,v_n) \ \mbox{est libre}$

Base

Toute famille de vecteurs de E, libre et génératrice est une base de E

Dimension finie

Définition 1 :

On dit qu'un espace vectoriel E est de dimension finie s'il existe une famille génératrice finie de E.

Définition 2 :

Dans un e.v de dimension finie, toutes les bases ont le même cardinal (nombre de vecteurs d'une base de E) qui est appelé dimension de E.

$- \mbox{dim}(\mathbb(R)^n)=n \\ \par - \mbox{dim}(M_{n,p}(\mathbb{R}))=n.p \\$

Théorème :

Dans un e.v de dimension finie, toute famille libre est une base de E.

$\mbox{Tout vecteur de}\ x(x_1,x_2,\cdots,x_n) \ \mbox{de} \ \mathbb{R}^n \ s'\'ecrit \\ \par x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n \\ \mbox{avec} \ (e_i)_{1\leqslant i \leqslant n} \ \mbox{est la base canonique de} \ \mathbb{R}^n \\ e_1(1,0,0,\cdots,0) \ e_2(0,1,0,\cdots,0), \ \cdots \ ,e_n(0,0,\cdots,0,1)$

Rang d'une matrice

$\begin{center} \mbox{Le rang d'une matrice } \ A \in M_{n,p}(\mathbb{R})\\ \mbox{est le nombre de vecteurs lignes ou colonnes lin\'eairement ind\'ependants} \end{center} \\ \vspace{0.7\baselineskip}\\ - A \in M_{n,p}(\mathbb{R}) \Longrightarrow 1\leqslant rangA\leqslant inf(n,p)\\ \vspace{0.7\baselineskip}\\ - A \in M_{n}(\mathbb{R}) \Longrightarrow 1\leqslant rangA\leqslant n \\ \vspace{0.7\baselineskip}\\ - A \in M_{n}(\mathbb{R}), \ ranA=n \Longleftrightarrow A \ \mbox{est inversible}$

Pour calculer le rang d'une matrice on peut utiliser soit les transformations élémentaires sur les lignes

(ou les colonnes), soit la méthode des déterminants.

[Exercice corrigé]

dimanche 5 avril 2020

Chapitre 4

Espaces Vectoriels - Applications Linéaires

Espaces vectoriels

Cours : EV_1

Cours : EV_2

Sous-espaces vectoriels

Définition :

Exemples :

Exercice : Exercice 1 Série 4 [Corrigé]

Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.

Sous-espaces engendré - famille génératrice

Famille libre - famille liée

Base

Toute famille de vecteurs de E, libre et génératrice est une base de E

Dimension finie

Rang d'une matrice

Glossaire

HISSAB

dimanche 5 avril 2020

Chapitre 4

Espaces Vectoriels - Applications Linéaires

Espaces vectoriels

Cours : EV_1 Cours : EV_2

Sous-espaces vectoriels

Définition :

Exemples :

Exercice : Exercice 1 Série 4 [Corrigé] Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.

Sous-espaces engendré - famille génératrice

Famille libre - famille liée

Base Toute famille de vecteurs de E, libre et génératrice est une base de E

Dimension finie

Rang d'une matrice

Cours : EV_1

Cours : EV_2

Exercice : Exercice 1 Série 4 [Corrigé]

Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.

Base

Toute famille de vecteurs de E, libre et génératrice est une base de E