Divisibilité

1. Trouver tous les entiers naturel n, tels que   n²  +  11  divise n³  +  13.
2. Montrer que si n est impair alors 1ⁿ  +  2ⁿ  + …. +  nⁿ   est divisible par par n².

[ Solution ]

111...11

1. Est-ce que 111111 est un carré parfait ?  Est-il un cube ?
2. L'entier 11111111 est-il un cube ?

[ Solution ]

Calcul

      1.  Calculer :

1² + 2² + 3² - 4² - 5² + 6² + 7² + 8² - 9² - 10² +….- 2009² - 2010²

2. Trouver tous les entiers naturels n pour les quels :                       (16n + 9) et  (9n + 16) soient tous les deux des carrés parfaits. 

[ Solution ] 

Somme de deux carrés

Congruence

[ Solution ]

Nombres premiers

1 . Soit p un nombre premier. Déterminer p pour que 11p + 1 soit le carré d'un entier

2. Soit n un entier de la forme n = 2^m + 1  avec m positif ou nul. Montrer que si n est premier alors m = 0 ou m est une puissance de 2.

[ Solution ]

Entier digisible

Soit n un entier digisible s'écrivant avec un 5

1. Démontrer que 5 est le chiffre de ses unités.
2. Démontrer que tous les chiffres de n sont impairs
3. Démontrer que n s'écrit avec au plus quatre chiffres.
4. Déterminer le plus grand entier digisible s'écrivant avec un 5. 

[Solution]

Valuation p-adique

- Si p un nombre premier et n un entier non nul, la valuation p-adique de n est le plus grand entier k tel que p^k  divise n. On la note v_p(n).
- Si a et b deux entiers, a divise b si et seulement si v_p(a) £ v_p(b) pour tout nombre premier p.

Formule de Legendre : 

Si p est un nombre premier et n un entier positif, on a : 

Exercice :

Par combien de zéros se termine  2013!

[Solution]

Nombres premiers

 Si P(n ) désigne le nombre des nombres premiers plus petit de n alors : 

Al Mahani

Quelles sont les racines des apotomés suivantes :

Deuxième apotomé

La transcription en symbolisme moderne de l'extraction de la racine de la deuxième apotomé ( exemple étudier dans le commentaire anonyme) : 

al Mahani

Extraction des racines carrées des six apotomés en se ramenant à la cinquième équation canonique par la technique d’Al jabr et al muqabala.