Divisibilité

1. Trouver tous les entiers naturel n, tels que   n²  +  11  divise n³  +  13.
2. Montrer que si n est impair alors 1ⁿ  +  2ⁿ  + …. +  nⁿ   est divisible par par n².

[ Solution ]

111...11

1. Est-ce que 111111 est un carré parfait ?  Est-il un cube ?
2. L'entier 11111111 est-il un cube ?

[ Solution ]

Calcul

      1.  Calculer :

1² + 2² + 3² - 4² - 5² + 6² + 7² + 8² - 9² - 10² +….- 2009² - 2010²

2. Trouver tous les entiers naturels n pour les quels :                       (16n + 9) et  (9n + 16) soient tous les deux des carrés parfaits. 

[ Solution ] 

Somme de deux carrés

Congruence

[ Solution ]

Nombres premiers

1 . Soit p un nombre premier. Déterminer p pour que 11p + 1 soit le carré d'un entier

2. Soit n un entier de la forme n = 2^m + 1  avec m positif ou nul. Montrer que si n est premier alors m = 0 ou m est une puissance de 2.

[ Solution ]

Entier digisible

Soit n un entier digisible s'écrivant avec un 5

1. Démontrer que 5 est le chiffre de ses unités.
2. Démontrer que tous les chiffres de n sont impairs
3. Démontrer que n s'écrit avec au plus quatre chiffres.
4. Déterminer le plus grand entier digisible s'écrivant avec un 5. 

[Solution]

Valuation p-adique

- Si p un nombre premier et n un entier non nul, la valuation p-adique de n est le plus grand entier k tel que p^k  divise n. On la note v_p(n).
- Si a et b deux entiers, a divise b si et seulement si v_p(a) £ v_p(b) pour tout nombre premier p.

Formule de Legendre : 

Si p est un nombre premier et n un entier positif, on a : 

Exercice :

Par combien de zéros se termine  2013!

[Solution]

Nombres premiers

 Si P(n ) désigne le nombre des nombres premiers plus petit de n alors : 

Al Mahani

Quelles sont les racines des apotomés suivantes :

Deuxième apotomé

La transcription en symbolisme moderne de l'extraction de la racine de la deuxième apotomé ( exemple étudier dans le commentaire anonyme) : 

al Mahani

Extraction des racines carrées des six apotomés en se ramenant à la cinquième équation canonique par la technique d’Al jabr et al muqabala.

AL Mahani

Classement des droites liées et déliées d'al mahani

Droites liées de liaison simple : 

-  La droite binôme : a + b tels que a, b racines de nombres rationnels strictement positifs ; (a/b) n'est pas rationnel comme :   

- La première des deux médiales  : a + b  tels que a, b racines  2ⁿ  ièmes de nombres rationnels strictement positifs qui ne sont pas des carrées, (a/b) n'est pas rationnel et a.b rationnel   comme : 

- La seconde des deux médiales : a + b  tels que a, b racines  2ⁿ  ièmes de nombres rationnels strictement positifs qui ne sont pas des carrées, (a/b) n'est pas rationnel et a.b rationnel en puissance comme : 

Les droites liées de liaison composée :

- La majeure :  a + b tels que (a² /b² ) n'est pas rationnel comme : 

- L'association d'une rationnelle et une médiale : a + b tels que (a² /b² ) n'est pas rationnel,  a² + b²    est la racine d'un rationnel qui n'est pas carré et (a.b) rationnel comme : 

- L'association de deux médiales :  a + b tels que (a² /b² ) n'est pas rationnel,  a² + b²   et (a.b)  sont les racines de rationnels qui ne sont pas des carrés et (a² + b² )/ab n'est pas rationnel comme : 

  

Résolution de la cinquième équation par alkhawarizmi

La cinquième équation : des carrées et le nombre égaux à des racines :
Comme dans AL jabr et al muquabala

x² + 21 = 10x

·         Partage en deux moitiés le nombre des racines soit (10/2) = 5

·         Multiplie le par lui-même soit  5² = 25

·         Dont tu retranches vingt et un soit 25 – 21 = 4

·         Prends sa racine  qui est 2

·         Retranches la de la moitié du nombre des racines soit 5 – 2 = 3

·         Qui est la racine du carré que tu veux son carré qui est 9.

Si tu veux, ajoute la racine à la moitié du nombre  des racines on aura : 7 qui est la racine du carré cherché et le carré est 49. 

AL KHWARIZMI

Dans la première partie du livre AL Khawrizmi, présente l'étude générale des équations de second degré, il définit ce que ,R. Rashed appelle les termes primitifs de l'algèbre.

L'inconnue désignée par  "Shay" la chose ou "Jidhr" racine qu'on note  de nos jours " x "

Son carré : "Mal "  qu'on note de nos jours   x²

Les nombres rationnels positifs  " 3adad "

Les six équations canoniques  d'Al KHWARIZMI :

Des carrées sont égaux à des choses	ax2 = bx
Des carrées sont égaux à des nombres	ax2 = c
Des choses sont égales à des nombres	bx = c
Des carrées plus des choses sont égaux à des nombres	ax2 + bx = c
Des carrées plus des nombres sont égaux à des choses	ax2 + c = bx
Des choses plus des nombres sont égaux à des carrées	bx + c = ax2

Nombres amicaux

Deux nombres sont dit amicaux si la somme des diviseurs propres de l'un est égal à l'autre .

220 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

284 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142  = 220

Quelques nombres amicaux :